北极涛动

Arctic Oscillation (AO)

# 北极涛动

北极涛动（AO）是指北半球中纬度地区（约北纬 45 度）与北极地区气压形势差别的变化。它是一个代表北极地区大气环流的重要气候指数，可分为正位相和负位相。

北极通常受低气压系统支配，而高气压系统则位于中纬度地区。当 AO 处于正位相时，这些系统的气压差较正常强，围绕北极的一圈强风将寒冷的空气限制在极地地区，限制了极区冷空气向南扩展；当 AO 处于负位相时，这些系统的气压差较正常弱，这条风带变得更弱、更扭曲，冷空气较易向南侵袭，并增加了进入中纬度地区的风暴。

AO 指数是通过将 AO 负荷模式投影到北纬 20 度以北的日异常 1000 毫巴高度场而获得的。利用多年月平均数据，选择 AO 加载模式作为 EOF 分析的主模态。
AO 指数是关于北纬 20 度以北海平面气压的非季节性变化的主模态的序列，其计算涉及到 EOF 分析（Empirical Orthogonal Function analysis）。

参考页面：hko, oss

# EOF 分析

经验正交函数分析法（EOF 分析），在地球物理科学中经常使用，目标是通过将时空数据集转化成空间模态（spatial patterns）变化率和与之联系的时间上的投影（时间序列）来简化时空数据集。这些空间模态就是 EOFs，可以被看作是方差对应的基函数（空间中的一组基向量）。相关的时间投影是主要成分（pricipal components, PCs），是 EOFs 的时间系数。

EOF 分析只是以方差对应的基对数据进行了新的表示。原始数据集完全可以由 EOFs 和 PCs 重建出来。但是在实践中，我们通常只对 EOFs 的一个子集感兴趣。单个的 EOFs 有时可能会有一个合理的物理解释与之对应，另外我们可能希望的是用有限的几个 EOFs 来重建原始数据集，这些 EOFs 可以根据对应的方差来选择。这个思想有点像反问题求解用的筛去小特征值。

# 数学描述

考虑一个数据集，该数据集由单个地球物理变量在空间 $x_1, x_2, ..., x_M$ 的多个位置以及在 $t_1, t_2, ..., t_N$ 的多个时间点的观测值组成。这些观测值可以用一个 $N \times M$ 的矩阵 $\mathbf{F}$ 来表示， $\mathbf{F}$ 的行是某个时间点上地图上所有观测点的观测值，列是某个地点在观测期内所有时间点的观测值。异常矩阵（anomaly matrix）$\mathbf{A}$ 是 $\mathbf{F}$ 矩阵中的每个元素减去时间均值（即各列均值）而得到的，每列的平均值为 0。

$$\mathbf{A} =\begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots &a_{1,M} \\\\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots &a_{2,M} \\\\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\\\ a_{N,1} & a_{N,2} & \cdots &a_{N,M} \end{pmatrix}$$

理论上首先计算协方差矩阵$\mathbf{R}=\mathbf{A}^T \mathbf{A}$，求解特征值问题

$$\mathbf{RC=C\Lambda}$$

其中 $\mathbf{C}$ 的列是特征向量（EOFs），特征值（EOF 方差）在 $\Lambda$ 的主对角线上。然后，可以根据 $\mathbf{A}$ 在 EOFs 上的投影来计算 PCs $\mathbf{P}$ ：

$$\mathbf{P=AC}$$

# 实际计算

先对 $\mathbf{A}$ 进行 SVD 分解，则右奇异向量为 EOFs，左奇异向量为标准化的 PCs。

因而所需的主 PCs 即为 $\mathbf{P}$ 的第一列，对应的 mod 为 EOFs $\mathbf{C}$ 的第一列，主模态解释了总方差的 $\lambda_1/\sum \lambda$。

使用 eof 包进行计算时，可能还需要对纬度进行加权。

参考页面：eof2

# Wintertime Arctic oscillation(AO) index

以 50 年 NCEP 再分析资料的海平面气压（SLP）为基础，构造了冬季北极涛动（AO）指数，并应用于 NYF 数据集。具体而言，AO 被定义为 1950 年至 2000 年冬季（11 月至 4 月）北半球（20°N 和北部）周平均 SLP 的经验正交函数（EOF）主模态。对 50 年 SLP 序列进行去趋势化处理，去除季节性周期进行 EOF 计算。主模态解释了 13.9% 的总方差，标准化空间模式（无单位）和主成分 PC（时间序列）如图 S1 所示。NYF 数据集的冬季对应于总体中性 AO 状态，冬季每周 AO 指数（如封面所示 25 hPa）的变化率也与 50 年 NCEP 再分析数据的平均季节内变异性（如图 S1b 所示为 22 hPa）相当。作为参考，NYF 数据集的夏季 AO 为轻度负（图 S1c）。

标准年份强迫（normal-year forcing，NYF）数据集是一个重复的年度周期数据集，它包含了强迫一个海冰耦合模式所需的一切。

猜测 NCEP 数据是只把每年的冬季序列取出来进行计算，然后平滑处理作为参考；然后再计算 NYF 数据集的 AOI，取冬季部分出来分析。根据该分析结果选择特定模拟日的结果进一步分析。